O
matemático alemão David Hilbert propôs um exercício muito interessante envolvendo
o conceito de infinito que ficou conhecido como Hotel Infinito de Hilbert.
Acompanhe:
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| Imagem: Freepik. |
Imagine
um hotel com um número infinito de quartos, sendo todos eles ocupados por um
número infinito de hóspedes.
Então,
chega mais uma pessoa procurando um quarto. Ao invés de mandá-la embora, o
gerente diz que irá providenciar-lhe um quarto. Mas como ele fará isso em um
hotel lotado?
Achou
difícil? Temos um vídeo explicativo
abaixo dessa explanação, caso queira vê-lo primeiro.
Nesse
caso, devemos ter em mente que o
infinito não se comporta como os outros números. Em outra situação, seria
impossível, uma vez que todos os quartos estão ocupados. Entretanto, em se
tratando de infinito, é possível acomodar mais um hóspede. Veja como:
O
gerente pede ao hóspede do quarto nº 1 para mudar para o quarto nº 2, então
pedindo ao hóspede do quarto nº 2 para mudar para o quarto nº 3, e assim
sucessivamente. Cada hóspede irá mudar-se para o quarto seguinte.
Mas
como isso é possível, se todos os quartos já estão ocupados?
Como
foi dito, o infinito não se comporta como os outros números, veja essa
propriedade:
∞ + 1 = ∞
Dessa
forma, será possível acomodar o novo hóspede, pois, mesmo lotado, sempre será
possível adicionar mais um. Assim, o hotel infinito lotado com infinitos
hóspedes ainda poderá acomodar infinitos novos hóspedes.
Ainda
nessa mesma situação, o hóspede teria que esperar por um tempo infinito até
poder ocupar seu quarto, pois ele precisaria aguardar que o hóspede do quarto
de nº N fosse para o quarto nº N + 1, para que o hóspede do quarto nº N – 1
fosse para o quarto nº N, regredindo até que o segundo quarto ficasse livre
para o primeiro hóspede ocupá-lo, dando assim a vaga tão esperada.
O
processo pode ser repetido infinitas vezes, para acomodar infinitos clientes
que possam querer uma vaga nesse hotel.
Não
satisfeito com essa situação, Hilbert propôs ainda que um número infinito
contável de ônibus traga um número infinito contável de passageiros buscando um
quarto. O gerente, muito receptivo, decide que irá acomodar a todos. Como?
Veja:
O
gerente pede ao hóspede do quarto 1 para mudar-se para o quarto de número 2,
pede ao ocupante do quarto 2 para mudar-se para o quarto de número 4, pede ao
ocupante do quarto 3 para mudar-se para o quarto de número 6, e assim
sucessivamente. Cada ocupante irá mudar-se para um quarto cujo número é o dobro do que ocupava.
Em
se tratando de Números Naturais, a partir do 1, temos a seguinte propriedade:
Todo número multiplicado por 2 terá como
resultado um número par (nesse caso).
Dessa
forma, todos os infinitos hóspedes ocuparão infinitos quartos com números
pares, deixando infinitos quartos com números ímpares livres para os infinitos
hóspedes que estão chegando.
Ainda
assim, é possível acomodar outros infinitos hóspedes, usando outras
propriedades matemáticas para deixar os quartos vagos. Para demonstrar essas
possibilidades e explanar melhor o paradoxo, assista ao vídeo abaixo.
- Importante
O
vídeo está em inglês, mas possui legenda
de qualidade (não é aquela automática). Basta clicar na caixinha que está antes
da engrenagem.
Confira
abaixo outras propriedades do infinito
que irão ilustrar melhor como esse número se comporta:
Usando o Infinito
Às
vezes podemos usar o infinito como um número, mas ele não se comporta como um
número real.
Por
exemplo: ∞ + 1 = ∞
Que
diz que infinito mais um ainda é igual a infinito.
O
mais importante sobre o infinito é que:
-∞ < x < ∞
Onde
x é
um número real.
Por
extenso fica:
“O
infinito negativo é menor do que
qualquer número real e o infinito
positivo é maior do que qualquer número real”.
Outras Propriedades do Infinito
Propriedades Especiais do Infinito
|
∞ +
∞ = ∞
|
(-∞) + (-∞) = - ∞
|
∞ x ∞ = ∞
|
(-∞) x (-∞) = ∞
|
(-∞) x ∞ = -∞
|
∞
x (-∞) = -∞
|
x + ∞ = ∞
|
x + (-∞) = -∞
|
x - ∞ = -∞
|
x - (-∞) = ∞
|
Para x > 0:
|
x x ∞ = ∞
|
x x (-∞) = -∞
|
Para x < 0:
|
x x ∞ = -∞
|
x x (-∞) = ∞
|
Operações indefinidas:
As
operações abaixo ainda não possuem resposta, uma vez que não se chegou a um
consenso para elas:
Operações
Indefinidas
|
0 x ∞
|
0 x (-∞)
|
∞ + (-∞)
|
∞ - ∞
|
∞ / ∞
|
∞0
|
1∞
|
A operação ∞ / ∞
não
é igual a 1?
Não,
porque não sabemos o quão grande o infinito é, então não podemos dizer que dois
infinitos são iguais. Por exemplo, ∞ + ∞
= ∞, então:
Substituindo
o primeiro ∞ pela expressão ∞ + ∞, temos que:
∞ / ∞ = (∞ + ∞)
/ ∞
Seria
como: 1 / 1 = 2 / 1 ou 1 = 2. Poderia ser também 1 = 3 e assim sucessivamente,
portanto ∞ / ∞ é indefinido.
Infinitos Conjuntos
Se
você continuar a estudar esse assunto, irá encontrar discussões sobre infinitos
conjuntos e a ideia de diferentes tamanhos de infinito.
Esse
assunto tem nomes especiais como Aleph-nulo ou Aleph-zero (relativo aos Números
Naturais), Aleph-um e assim sucessivamente, que são usados para medir o tamanho
dos conjuntos.
Por
exemplo:
Existem
infinitos Números Naturais {0, 1, 2, 3, 4,...}, mas existem mais Números Reais
(como 12,308 ou 1,1111115) porque existem infinitas outras variações possíveis
com os números da parte decimal.
Referências:
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